\(\int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+C \sec ^2(c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx\) [697]

Optimal result

Integrand size = 33, antiderivative size = 369 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) x}{2 a^5}-\frac {b \left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(12*A*b^2+a^2*(A+2*C))*x/a^5-b*(12*A*b^6-a^2*b^4*(29*A-2*C)+5*a^4*b^2*(4*A-C)+6*a^6*C)*arctanh((a-b)^(1/2)
*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^5/(a-b)^(5/2)/(a+b)^(5/2)/d-1/2*b*(12*A*b^4+a^4*(6*A-5*C)-a^2*b^2*(21*A-2*C
))*sin(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(6*A*b^4+a^4*(A-4*C)-a^2*b^2*(10*A-C))*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)
^2/d+1/2*(A*b^2+C*a^2)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*sec(d*x+c))^2+1/2*(7*A*a^2*b^2-4*A*b^4+3*C*a^4
)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*sec(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 1.81 (sec) , antiderivative size = 369, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.212, Rules used = {4186, 4185, 4189, 4004, 3916, 2738, 214} \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {\left (a^2 C+A b^2\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {x \left (a^2 (A+2 C)+12 A b^2\right )}{2 a^5}-\frac {b \left (a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)+12 A b^4\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^2}+\frac {\left (3 a^4 C+7 a^2 A b^2-4 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\left (a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)+6 A b^4\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {b \left (6 a^6 C+5 a^4 b^2 (4 A-C)-a^2 b^4 (29 A-2 C)+12 A b^6\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

((12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*x)/(2*a^5) - (b*(12*A*b^6 - a^2*b^4*(29*A - 2*C) + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C)*
ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d) - (b*(12*A*b^4 + a^4*
(6*A - 5*C) - a^2*b^2*(21*A - 2*C))*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((6*A*b^4 + a^4*(A - 4*C) - a^2*b^
2*(10*A - C))*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + ((A*b^2 + a^2*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])
/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + ((7*a^2*A*b^2 - 4*A*b^4 + 3*a^4*C)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2
*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 214

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && NegQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3916

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a/b)*Si
n[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4004

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[c*(x/a),
x] - Dist[(b*c - a*d)/a, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
b*c - a*d, 0]

Rule 4185

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a +
b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), I
nt[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*
(m + n + 1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] &
& ILtQ[n, 0])

Rule 4186

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b
_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x]
)^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e
+ f*x])^n*Simp[a^2*(A + C)*(m + 1) - (A*b^2 + a^2*C)*(m + n + 1) - a*b*(A + C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2
+ a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] &&
LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0])

Rule 4189

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1
)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x] + Dist[1/(a*d*n), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[
a*B*n - A*b*(m + n + 1) + a*(A + A*n + C*n)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ
[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (2 \left (2 A b^2-a^2 (A-C)\right )+2 a b (A+C) \sec (c+d x)-3 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx}{2 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (2 \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right )+a b \left (A b^2-a^2 (4 A+3 C)\right ) \sec (c+d x)+2 \left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (2 b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right )+2 a \left (2 A b^4-a^2 b^2 (4 A+C)-a^4 (A+2 C)\right ) \sec (c+d x)-2 b \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right )+2 a b \left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{4 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) x}{2 a^5}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b \left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right )\right ) \int \frac {\sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) x}{2 a^5}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \cos (c+d x)}{b}} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) x}{2 a^5}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (12 A b^6-a^2 b^4 (29 A-2 C)+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}+\left (1-\frac {a}{b}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = \frac {\left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) x}{2 a^5}-\frac {b \left (20 a^4 A b^2-29 a^2 A b^4+12 A b^6+6 a^6 C-5 a^4 b^2 C+2 a^2 b^4 C\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}-\frac {b \left (12 A b^4+a^4 (6 A-5 C)-a^2 b^2 (21 A-2 C)\right ) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (6 A b^4+a^4 (A-4 C)-a^2 b^2 (10 A-C)\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (A b^2+a^2 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\left (7 a^2 A b^2-4 A b^4+3 a^4 C\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 3.57 (sec) , antiderivative size = 256, normalized size of antiderivative = 0.69 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\frac {2 \left (12 A b^2+a^2 (A+2 C)\right ) (c+d x)+\frac {4 b \left (12 A b^6+5 a^4 b^2 (4 A-C)+6 a^6 C+a^2 b^4 (-29 A+2 C)\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(-a+b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{\left (a^2-b^2\right )^{5/2}}-12 a A b \sin (c+d x)-\frac {2 a b^3 \left (A b^2+a^2 C\right ) \sin (c+d x)}{(a-b) (a+b) (b+a \cos (c+d x))^2}+\frac {2 a b^2 \left (-7 A b^4+a^2 b^2 (10 A-3 C)+6 a^4 C\right ) \sin (c+d x)}{(a-b)^2 (a+b)^2 (b+a \cos (c+d x))}+a^2 A \sin (2 (c+d x))}{4 a^5 d} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^2*(A + C*Sec[c + d*x]^2))/(a + b*Sec[c + d*x])^3,x]

[Out]

(2*(12*A*b^2 + a^2*(A + 2*C))*(c + d*x) + (4*b*(12*A*b^6 + 5*a^4*b^2*(4*A - C) + 6*a^6*C + a^2*b^4*(-29*A + 2*
C))*ArcTanh[((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(5/2) - 12*a*A*b*Sin[c + d*x] - (2*a*b^3
*(A*b^2 + a^2*C)*Sin[c + d*x])/((a - b)*(a + b)*(b + a*Cos[c + d*x])^2) + (2*a*b^2*(-7*A*b^4 + a^2*b^2*(10*A -
3*C) + 6*a^4*C)*Sin[c + d*x])/((a - b)^2*(a + b)^2*(b + a*Cos[c + d*x])) + a^2*A*Sin[2*(c + d*x)])/(4*a^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 0.95 (sec) , antiderivative size = 404, normalized size of antiderivative = 1.09

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 a^{4} C +a^{3} b C -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 a^{4} C -a^{3} b C -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{2}}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-29 a^{2} A \,b^{4}+12 A \,b^{6}+6 a^{6} C -5 a^{4} b^{2} C +2 C \,a^{2} b^{4}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (\left (-\frac {1}{2} a^{2} A -3 a A b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}+\left (\frac {1}{2} a^{2} A -3 a A b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}\right )^{2}}+\left (a^{2} A +12 A \,b^{2}+2 C \,a^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(404\)
default	\(\frac {\frac {2 b \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b^{2}+a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 a^{4} C +a^{3} b C -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}+\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b^{2}-a A \,b^{3}-6 A \,b^{4}+6 a^{4} C -a^{3} b C -2 C \,a^{2} b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{2}}-\frac {\left (20 A \,a^{4} b^{2}-29 a^{2} A \,b^{4}+12 A \,b^{6}+6 a^{6} C -5 a^{4} b^{2} C +2 C \,a^{2} b^{4}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a +b \right ) \left (a -b \right )}}\right )}{a^{5}}+\frac {\frac {2 \left (\left (-\frac {1}{2} a^{2} A -3 a A b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}+\left (\frac {1}{2} a^{2} A -3 a A b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}\right )^{2}}+\left (a^{2} A +12 A \,b^{2}+2 C \,a^{2}\right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(404\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1472\)

[In]

int(cos(d*x+c)^2*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2*b/a^5*((-1/2*(10*A*a^2*b^2+A*a*b^3-6*A*b^4+6*C*a^4+C*a^3*b-2*C*a^2*b^2)*a*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1
/2*d*x+1/2*c)^3+1/2*b*a*(10*A*a^2*b^2-A*a*b^3-6*A*b^4+6*C*a^4-C*a^3*b-2*C*a^2*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1
/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^2-1/2*(20*A*a^4*b^2-29*A*a^2*b^4+12*A*b^6+6*C*a^6-5
*C*a^4*b^2+2*C*a^2*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a+b)*(a-b))^(1/2)*arctanh((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a+b)*(a-b))
^(1/2)))+2/a^5*(((-1/2*a^2*A-3*a*A*b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+(1/2*a^2*A-3*a*A*b)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(1+tan(1/2*
d*x+1/2*c)^2)^2+1/2*(A*a^2+12*A*b^2+2*C*a^2)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 748 vs. \(2 (350) = 700\).

Time = 0.38 (sec) , antiderivative size = 1554, normalized size of antiderivative = 4.21 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(2*((A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)*a^6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8
)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 4*((A + 2*C)*a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5 + (35*A - 2*C)*a^3*
b^7 - 12*A*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + 2*((A + 2*C)*a^8*b^2 + 3*(3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (
35*A - 2*C)*a^2*b^8 - 12*A*b^10)*d*x + (6*C*a^6*b^3 + 5*(4*A - C)*a^4*b^5 - (29*A - 2*C)*a^2*b^7 + 12*A*b^9 +
(6*C*a^8*b + 5*(4*A - C)*a^6*b^3 - (29*A - 2*C)*a^4*b^5 + 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(6*C*a^7*b^2 + 5*(4
*A - C)*a^5*b^4 - (29*A - 2*C)*a^3*b^6 + 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) - (
a^2 - 2*b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(a^2 - b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)*sin(d*x + c) + 2*a^2 - b^2)/(a^2*cos(d*x
+ c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + b^2)) - 2*((6*A - 5*C)*a^7*b^3 - (27*A - 7*C)*a^5*b^5 + (33*A - 2*C)*a^3*b^7 - 1
2*A*a*b^9 - (A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6)*cos(d*x + c)^3 + 4*(A*a^9*b - 3*A*a^7*b^3 + 3*A*a
^5*b^5 - A*a^3*b^7)*cos(d*x + c)^2 + ((11*A - 6*C)*a^8*b^2 - (43*A - 9*C)*a^6*b^4 + (50*A - 3*C)*a^4*b^6 - 18*
A*a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^12*b
- 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d), 1/2*(((
A + 2*C)*a^10 + 3*(3*A - 2*C)*a^8*b^2 - 3*(11*A - 2*C)*a^6*b^4 + (35*A - 2*C)*a^4*b^6 - 12*A*a^2*b^8)*d*x*cos(
d*x + c)^2 + 2*((A + 2*C)*a^9*b + 3*(3*A - 2*C)*a^7*b^3 - 3*(11*A - 2*C)*a^5*b^5 + (35*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*A
*a*b^9)*d*x*cos(d*x + c) + ((A + 2*C)*a^8*b^2 + 3*(3*A - 2*C)*a^6*b^4 - 3*(11*A - 2*C)*a^4*b^6 + (35*A - 2*C)*
a^2*b^8 - 12*A*b^10)*d*x - (6*C*a^6*b^3 + 5*(4*A - C)*a^4*b^5 - (29*A - 2*C)*a^2*b^7 + 12*A*b^9 + (6*C*a^8*b +
5*(4*A - C)*a^6*b^3 - (29*A - 2*C)*a^4*b^5 + 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2 + 2*(6*C*a^7*b^2 + 5*(4*A - C)*a^5*
b^4 - (29*A - 2*C)*a^3*b^6 + 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*cos(d*x +
c) + a)/((a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) - ((6*A - 5*C)*a^7*b^3 - (27*A - 7*C)*a^5*b^5 + (33*A - 2*C)*a^3*b^7 - 12*
A*a*b^9 - (A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6)*cos(d*x + c)^3 + 4*(A*a^9*b - 3*A*a^7*b^3 + 3*A*a^5
*b^5 - A*a^3*b^7)*cos(d*x + c)^2 + ((11*A - 6*C)*a^8*b^2 - (43*A - 9*C)*a^6*b^4 + (50*A - 3*C)*a^4*b^6 - 18*A*
a^2*b^8)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2 + 2*(a^12*b -
3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c) + (a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\int \frac {\left (A + C \sec ^{2}{\left (c + d x \right )}\right ) \cos ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**2*(A+C*sec(d*x+c)**2)/(a+b*sec(d*x+c))**3,x)

[Out]

Integral((A + C*sec(c + d*x)**2)*cos(c + d*x)**2/(a + b*sec(c + d*x))**3, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 2485 vs. \(2 (350) = 700\).

Time = 0.64 (sec) , antiderivative size = 2485, normalized size of antiderivative = 6.73 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+C*sec(d*x+c)^2)/(a+b*sec(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(((a^6 - a^5*b + 10*a^4*b^2 + 10*a^3*b^3 - 23*a^2*b^4 - 6*a*b^5 + 12*b^6)*sqrt(-a^2 + b^2)*A*abs(a^9 - 2*
a^7*b^2 + a^5*b^4)*abs(-a + b) + (2*a^6 + 4*a^5*b - 4*a^4*b^2 - a^3*b^3 + 2*a^2*b^4)*sqrt(-a^2 + b^2)*C*abs(a^
9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*abs(-a + b) - (a^15 - a^14*b + 8*a^13*b^2 - 28*a^12*b^3 - 42*a^11*b^4 + 111*a^10*b^5
+ 68*a^9*b^6 - 158*a^8*b^7 - 47*a^7*b^8 + 100*a^6*b^9 + 12*a^5*b^10 - 24*a^4*b^11)*sqrt(-a^2 + b^2)*A*abs(-a +
b) - (2*a^15 - 8*a^14*b - 8*a^13*b^2 + 25*a^12*b^3 + 12*a^11*b^4 - 30*a^10*b^5 - 8*a^9*b^6 + 17*a^8*b^7 + 2*a
^7*b^8 - 4*a^6*b^9)*sqrt(-a^2 + b^2)*C*abs(-a + b))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(tan(1/2*d*x + 1
/2*c)/sqrt(-(a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5 + sqrt((a^9 + a^8*b - 2*a^7*b^2 - 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 + a^4*b^5)*(a^9
- a^8*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5) + (a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)^2))/(a^9 - a^8*b - 2*a^7
*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5))))/((a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)^2*(a^2 - 2*a*b + b^2) + (a^10*b - 2*a^9*
b^2 - a^8*b^3 + 4*a^7*b^4 - a^6*b^5 - 2*a^5*b^6 + a^4*b^7)*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)) + (A*a^15 + 2*C*a^1
5 - A*a^14*b - 8*C*a^14*b + 8*A*a^13*b^2 - 8*C*a^13*b^2 - 28*A*a^12*b^3 + 25*C*a^12*b^3 - 42*A*a^11*b^4 + 12*C
*a^11*b^4 + 111*A*a^10*b^5 - 30*C*a^10*b^5 + 68*A*a^9*b^6 - 8*C*a^9*b^6 - 158*A*a^8*b^7 + 17*C*a^8*b^7 - 47*A*
a^7*b^8 + 2*C*a^7*b^8 + 100*A*a^6*b^9 - 4*C*a^6*b^9 + 12*A*a^5*b^10 - 24*A*a^4*b^11 + A*a^6*abs(a^9 - 2*a^7*b^
2 + a^5*b^4) + 2*C*a^6*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - A*a^5*b*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 4*C*a^5*b*abs
(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 10*A*a^4*b^2*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 4*C*a^4*b^2*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 +
a^5*b^4) + 10*A*a^3*b^3*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - C*a^3*b^3*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 23*A*a^2*b
^4*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) + 2*C*a^2*b^4*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 6*A*a*b^5*abs(a^9 - 2*a^7*b^2
+ a^5*b^4) + 12*A*b^6*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4))*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2) + arctan(tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)/sqrt(-(a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5 - sqrt((a^9 + a^8*b - 2*a^7*b^2 - 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 + a^4*b^5)*(
a^9 - a^8*b - 2*a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5) + (a^8*b - 2*a^6*b^3 + a^4*b^5)^2))/(a^9 - a^8*b - 2*
a^7*b^2 + 2*a^6*b^3 + a^5*b^4 - a^4*b^5))))/(a^8*b*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - 2*a^6*b^3*abs(a^9 - 2*a^7*
b^2 + a^5*b^4) + a^4*b^5*abs(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4) - (a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)^2) + 2*(A*a^7*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^7 + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^7 - 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 5*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^7 - 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 2*C*a^2*b^5*tan(1/
2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 3*A*a^7*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x +
1/2*c)^5 + 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 15*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^5 - 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 6*C*a^2*b^5*tan(1/2*
d*x + 1/2*c)^5 - 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*A*a^7*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^3 - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/
2*c)^3 + 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 15*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^3 + 3*C*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 6*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*
x + 1/2*c)^3 + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c
) + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 6*C*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*
A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 5*C*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 3*C*a^
3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*C*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*A*a*b^6
*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^8 - 2*a^6*b^2 + a^4*b^4)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4
- b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - 2*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - a - b)^2))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 31.17 (sec) , antiderivative size = 10471, normalized size of antiderivative = 28.38 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (A+C \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^2*(A + C/cos(c + d*x)^2))/(a + b/cos(c + d*x))^3,x)

[Out]

(b*atan(((b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C
^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 8
72*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^
2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b
^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A
*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*
C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4
- 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a
^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4
- 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5
+ 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*
b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 +
6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a
^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10
+ 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11
*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^
2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12
*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^
8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)) + (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14
- 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1
538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*
A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8
*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A
*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A
*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7
- a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21
+ 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*
b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^1
4*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b +
a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a
+ b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^1
9*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17
*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^
8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20
*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b
^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^
2)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))/((8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3
*a*b^14 + 24*C^3*a^14*b - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 782
9*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20
*A^3*a^12*b^3 + 8*C^3*a^6*b^9 - 4*C^3*a^7*b^8 - 36*C^3*a^8*b^7 + 26*C^3*a^9*b^6 + 72*C^3*a^10*b^5 - 52*C^3*a^1
1*b^4 - 68*C^3*a^12*b^3 + 48*C^3*a^13*b^2 + 24*A*C^2*a^14*b + 6*A^2*C*a^14*b + 144*A*C^2*a^4*b^11 - 72*A*C^2*a
^5*b^10 - 636*A*C^2*a^6*b^9 + 408*A*C^2*a^7*b^8 + 1188*A*C^2*a^8*b^7 - 747*A*C^2*a^9*b^6 - 1020*A*C^2*a^10*b^5
+ 552*A*C^2*a^11*b^4 + 300*A*C^2*a^12*b^3 + 12*A*C^2*a^13*b^2 + 864*A^2*C*a^2*b^13 - 432*A^2*C*a^3*b^12 - 374
4*A^2*C*a^4*b^11 + 2088*A^2*C*a^5*b^10 + 6486*A^2*C*a^6*b^9 - 3405*A^2*C*a^7*b^8 - 4977*A^2*C*a^8*b^7 + 1974*A
^2*C*a^9*b^6 + 1158*A^2*C*a^10*b^5 + 33*A^2*C*a^11*b^4 + 207*A^2*C*a^12*b^3 - 6*A^2*C*a^13*b^2))/(a^18*b + a^1
9 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*
a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2
*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^
2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*
b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 +
4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*
a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^
12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b*((a + b)
^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b
^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a
^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a
^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b
^2) - (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 +
2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48
*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4
- 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*
b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10
*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a
^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))
+ (b*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^1
3*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2
*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*
b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 3
2*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4
*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10
*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^
12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^
10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*
A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C
*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 +
3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^
6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^
8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a
^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 -
3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2
*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6
+ 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^
9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))))*((a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^6 + 6*C*a^6 - 29*A*a^2*b^4 + 20*A*a^4
*b^2 + 2*C*a^2*b^4 - 5*C*a^4*b^2)*1i)/(d*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)
) - (atan((((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 -
48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a
^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a
^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*
b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*b^2*6i + a^2*((
A*1i)/2 + C*1i))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5
+ 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 -
3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^1
3 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9
- 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 +
21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a
^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 9
6*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 33
6*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*
a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))*1i)/a^5 - ((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(((A*b^2*6i +
a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^1
3*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*
C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*
C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^1
7*b^2) + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^
12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^1
5 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2
*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^
2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A
^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6
*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2
+ 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C
*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a
^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))*1i)/a^5)/((
(A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b
^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 12
0*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72
*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b
^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*
1i))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^
4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3
- 3*a^13*b^2))))/a^5 + (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^
13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a
^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*
b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*
C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^
11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^
5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3
*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))/a^5 - (8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 + 24*C^3*a^14*b - 7344*A^3*a^2
*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 131
4*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3*a^12*b^3 + 8*C^3*a^6*b^9 - 4*C^3*
a^7*b^8 - 36*C^3*a^8*b^7 + 26*C^3*a^9*b^6 + 72*C^3*a^10*b^5 - 52*C^3*a^11*b^4 - 68*C^3*a^12*b^3 + 48*C^3*a^13*
b^2 + 24*A*C^2*a^14*b + 6*A^2*C*a^14*b + 144*A*C^2*a^4*b^11 - 72*A*C^2*a^5*b^10 - 636*A*C^2*a^6*b^9 + 408*A*C^
2*a^7*b^8 + 1188*A*C^2*a^8*b^7 - 747*A*C^2*a^9*b^6 - 1020*A*C^2*a^10*b^5 + 552*A*C^2*a^11*b^4 + 300*A*C^2*a^12
*b^3 + 12*A*C^2*a^13*b^2 + 864*A^2*C*a^2*b^13 - 432*A^2*C*a^3*b^12 - 3744*A^2*C*a^4*b^11 + 2088*A^2*C*a^5*b^10
+ 6486*A^2*C*a^6*b^9 - 3405*A^2*C*a^7*b^8 - 4977*A^2*C*a^8*b^7 + 1974*A^2*C*a^9*b^6 + 1158*A^2*C*a^10*b^5 + 3
3*A^2*C*a^11*b^4 + 207*A^2*C*a^12*b^3 - 6*A^2*C*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 +
3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + ((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(((A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1
i))*((4*(4*A*a^21 + 8*C*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*
b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 - 8*C*a^12*b^9 + 4*C*a^
13*b^8 + 36*C*a^14*b^7 - 8*C*a^15*b^6 - 72*C*a^16*b^5 + 12*C*a^17*b^4 + 68*C*a^18*b^3 - 16*C*a^19*b^2 - 24*C*a
^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (8*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(A*b^2*6i + a^2*((A*1i)/2 + C*1i))*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^
7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b
^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2))))/a^5 - (8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^1
4 + 4*C^2*a^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 8*C^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A
^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2
*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 8*C^2*a^4*b^10 - 8*C^2*a^5*b^9 - 32*C^2*a^6*b^8 + 32*C^2*a^7*b
^7 + 57*C^2*a^8*b^6 - 48*C^2*a^9*b^5 - 52*C^2*a^10*b^4 + 32*C^2*a^11*b^3 + 24*C^2*a^12*b^2 + 4*A*C*a^14 - 8*A*
C*a^13*b + 96*A*C*a^2*b^12 - 96*A*C*a^3*b^11 - 376*A*C*a^4*b^10 + 376*A*C*a^5*b^9 + 598*A*C*a^6*b^8 - 544*A*C*
a^7*b^7 - 444*A*C*a^8*b^6 + 336*A*C*a^9*b^5 + 104*A*C*a^10*b^4 - 64*A*C*a^11*b^3 + 36*A*C*a^12*b^2))/(a^14*b +
a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))/a^5))*(A*b^2*6i + a^2*((A*1i)
/2 + C*1i))*2i)/(a^5*d) - ((tan(c/2 + (d*x)/2)*(12*A*b^6 - A*a^6 - 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 + 8*A*a^4*b^2 +
2*C*a^2*b^4 + C*a^3*b^3 - 6*C*a^4*b^2 + 6*A*a*b^5 + 5*A*a^5*b))/((a + b)*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) + (tan(c/
2 + (d*x)/2)^3*(3*A*a^7 + 36*A*b^7 - 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 + 6*C*a^2*b^5 +
3*C*a^3*b^4 - 15*C*a^4*b^3 - 6*C*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 - 4*A*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) - (t
an(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*A*a^7 - 36*A*b^7 + 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 - 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 - 6*C*a^2*b
^5 + 3*C*a^3*b^4 + 15*C*a^4*b^3 - 6*C*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 + 4*A*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2))
- (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(A*a^6 - 12*A*b^6 + 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 - 2*C*a^2*b^4 + C*a^3*b
^3 + 6*C*a^4*b^2 + 6*A*a*b^5 + 5*A*a^5*b))/((a^4*b - a^5)*(a + b)^2))/(d*(2*a*b - tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(2*a^2
- 6*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*b^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*
(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2))